在體驗中思考的數學課堂實踐

學生動手了……

生1：在上節課中，求第個圖案中所需紙片塊數時，按行計算，即，現在就應該按層計算，第層所需紙片塊數為，因此層塔所需紙片塊為=.

師：這是等差數列求和嗎？

生：不是.

生2：但我們發現從第2項起，后一項減前一項得到的數列：2，3，4，…，是一個等差數列.

師：這一發現太重要了，能一個關系式表示嗎？

生2：我們試試…

生3：我行！

師：精彩！根據第n層所堆紙片塊數，其它各層的塊數是不是也可以寫成這個形式？

生：.

師：很好！前面我們已經會求等差、等比數列的前項和，這類和怎么求呢？

根據加法的交換律，有：

.

我們稱這種數列求和的方法為“分組法”，這里：.

于是.

老師還說完，學生就有話說.

生：怎么來的？講一下吧.

評注：當操作與思維情感聯系起來時，操作便成為培養學生創新意識的源泉.“分組法”容易理解，為什么突然“冒出” 呢？如果老師只告訴學生，課本第58頁給出了這個公式，學生課后自己上網去了解它的推導，這樣未嘗不可，但卻沒能把學生的思考引向深入.

師：這個問題還真令老師措手不及，不過，我想到了前面了解過的正方形數，我們是不是將圖4中各個圖案中的紙片塊也象剛才那樣操作，壘成一個“塔”，…

生：壘一個層塔所需紙片塊數為.（太神了?。?span lang="EN-US">

師：求1+2+3+…+時，用的是“倒序相加”法，卻將1，2，3，…，擺成一個三角形，然后順時針旋轉180°得到一個倒放的三角形，兩者拼成一個平行四邊形再求和，這種思維對于求的和是否會有啟發呢？

生：嘗試、討論、合作、交流…

師：要擺成三角形狀，要將所有數都擺完.

生：可是紙片中只有1，哪能得到？

師：那我們就在紙片背面分別標上數字：1，2，3，4，…，怎么樣？

評注：數學家波利亞說：“一個涌上腦際的念頭，倘若毫無困難地通過一些明顯的行動就達到了所求的目標，那就不會產生問題.然而，倘若我想不出這樣明顯的行動來，那就產生了問題.那就意味著要去找出適當的行動，去達到一個可見而不即時可及的目的.”“紙片只標有1，那就在背面再標數字！”新知識在學生的體驗中自然而然產生.

生4：我們成功了.如圖7-1.

生5：可是，將圖7-1順時針針旋轉180°后的圖案與原圖案拼在一起后，各行上的數字之和不相等.

師：我們既要受前面試驗的啟發，又不要受它的束縛.

生：轉30°、45°、60°、90°、…，嘗試著.

師：一個三角形有幾個角？

生：3個.

生6：有了，轉2次，每次只轉120°，如圖7-1、7-2、7-3拼成一起，每個位置上的數字之各均為.

所以=.

師：掌聲！

生：至此恍然大悟.“形數理論”的威力真大呀！

正當師生們沉醉于成功的喜悅中之際，一位同學提出自己當時有別于生6的想法：

生7：老師既然說背面可標數字，我也標了數字，不過我當時理解為所標數字是每個正方形的邊長，這樣就成了：.

師：太有才了！那是不是也可以用“形數理論”求前個正整數的立方和呢？

生：上述兩種壘的形狀，從上到下各層的紙片塊數分別為：1，3，6，10，…和1，4，9，16，….

生8：可以！如果各層紙片塊數分別為1，2，3，4，…，并且各紙片將分別是邊長分別為1，2，3，4，…的正方體，壘成塔的正視圖如圖8，其面積等于的面積，于是==.

師：這真是無巧不成書！太精彩了，我為你們的表演而驕傲.

評注：一次又一次的體驗活動激發學生積極思考，積極地思考帶動他們大膽探索，探索的過程中學生有新奇的發現，在這樣不斷探索發現的過程中，學生們享受著探索帶給他們的興奮，享受著與發現隨之而來的興奮，這種因探索而產生的創造帶給同學們的喜悅更具生命力.

實踐證明，在體驗中思考的數學課堂實踐是受學生歡迎的，在體驗中探究的形式進行教學，使學生“動”起來，使數學課“活”起來，學生的學習興趣大提高.這不僅培養了學生提出問題，分析問題，發現問題，解決問題的能力，也培養了學生的科學探究和互相團結合作的精神.

          528400 廣東省中山市東區中學 段文山

新課標倡導積極主動、勇于探索的課堂教學實踐，動手操作的體驗課堂隨處可見，然而，怎樣的體驗課堂才能創造出一個個驚喜呢？通過動手操作，使學生獲得的不僅是知識與技能，更有一種認識事物的方式，一種超越現象認識隱藏于背后的本質的追求.本人嘗試：“在實踐中體驗，在體驗中思考，在思考中感悟，在感悟中創新”的數學課堂實踐，取得了較好的教學效果.

1 “操作”中體驗

陶行知先生說：“要解放孩子的頭腦、雙手、腳、空間、時間，使他們充分得到自由的生活，從自由的生活中得到真正的教育.”勇于探索，放手讓學生去“做”，已成為廣大教師的共識，但如何“做”，為什么這么“做”，是否“做”得更好等諸多問題卻仍然困擾著我們.我嘗試讓學生盡量在真實的活動中獲得體驗，由表及里地審視數學知識，再現知識的形成過程.

案例Ⅰ“橢圓概念”的認識

師：“嫦娥奔月”，國人振奮.展示“嫦娥二號”探月的圖片，并提問：“嫦娥二號”運行的軌道是什么形狀？

生：橢圓！

師：同學們借助身邊可供操作的素材，嘗試著畫一個橢圓，邊思考橢圓是怎樣畫成的？

生：積極思考，合作探究，有的用圓規、有的用?？?，有的用小型膠帶（學生用品），有的徒手畫，有的借助畫圖板，…….10秒后，不少同學成功地畫出了橢圓，極少數同學仍在嘗試.

師：有哪位同學能在黑板上展示一下畫橢圓的過程嗎？

生1：用一條繩子（無彈性）對折，一端用左手按住，另一端系一支粉筆，把繩子拉直，將粉筆旋轉一圈，松手一望，喲，怎么還是圓呢？

生2：將對折后繩子的兩個端點稍分開，分別用兩個指頭按住，中間再用粉筆畫.

師：按照這位同學的思路在黑板上畫圖，故意將繩子變松，畫出圖：和”

課前準備：將班上同學分成9組，每組5～6人，每個小組分發大小相同的硬紙片，上面都寫著1.這足以引起同學們疑惑……

師：同學們，還記得前面了解過的古希臘畢達哥拉斯學派的浪漫沙灘之旅嗎？今天我們還是重溫當時的場景，請同學們借助硬紙片將它完成.

生：（釋惑）哦！原來要我們玩.很快就擺出如圖1、如圖2.

師：如圖3，第100個圖案中擺了幾塊硬約片？

生：圖3中前幾個圖案中還可以數，越往右邊的圖案所需塊數越多，擺到第100個圖案，肯定不夠的紙片.

評注：紙片塊數不夠，這一矛盾引起學生的認知沖突，學生們在做中體驗，要體驗中不約而同地遇到了困惑，有困惑就有思考，有思考就會有感悟，運用數學學習“再創造”理論，調動學生原有的知識和經驗，引導學生在實踐中真正“做”數學.

精彩還在繼續……

生1：不如將其它組的硬紙片都拿過來（急中生智）.

生2：恐怕不行，要是擺到第1000個圖案呢？太麻煩了吧.

師：就是嘛，要請你擺到第2013個圖案，也這樣一個一個地擺嗎？

評注：疑問再次激起同學們探究的欲望，剛剛建立起來的認知平衡，被無情的事實擊倒了，迫使他們在熟悉而又具體的問題情境，主動地尋求解決問題的方法.

    到底該怎辦？

生：通過實驗、操作、討論、交流，從用硬紙片去擺，比較大時，擺第個圖案的紙片塊不夠，使學生對三角形數由感性認識處升到理性認識.

生3：有了?。樱?，第個圖案的紙片塊數為，即將每一行的塊數加在一起.

師：很好.那么數列是什么數列？

生：等差數列.

師：這就是我們這節課要學習的內容：“等差數列前和.”（出示課題）

=？呢？

生4：在旁邊再擺一個一樣的倒著放的一樣圖案，這樣每一行的紙片塊數相同，如圖3，這樣就可求=.

師：太妙了！將一個三角形圖案順時針旋轉180°后的圖案與原圖案拼成一個平行四邊形狀，再求和，這種數列求和的方法叫做“例序相加法”.

生5：那正方形數也可以這樣求，先將它分割為如圖4，再由圖5可得：

.

師：太棒了！

下面就一般等差數列求前項和.

評注：由“經歷”到“經驗”非常重要的是思維和情感的真正參與，把操作活動變成學生的自覺行為，同時將知識和思想方法進行內化，由此誕生真正的數學思想.

3  “思考”中創新

層塔共需幾個紙片塊？