對教材“再創造”的教改探究(段文山）
對教材“再創造”的教改探究
⑵兩條對角線的長度= ，= .
教師指出：你能發現平行四邊形兩對角線長與四邊長之間的關系嗎？
評注：第1問讓學生熟悉選擇不共線向量作為基底表示向量時，要構造平行四邊形或三角形；第2問讓學生體驗向量法處理平面幾何中的長度問題，與平面幾何方法比較有其獨特的優勢.
3 問題深入的對比研究
3．1深入方式
甲：由平行四邊形的對角線互相平分進行變式探究：
變式1 點是的中點時，與交點在什么位置？你能證明嗎？
變式2 的一個4等分點（靠近點），與交點在什么位置？
變式3 的一個7等分點，的一個6等分點（都靠近點），則點、、三點是否共線？若是，請證明；若不是，請說明理由.
乙：不作鋪墊，直接按教材進行講授.隨后作兩點發散：
發散1 上點滿足，交于，你能發現與之間的關系嗎？
發散2 發散1中其它條件不變，呢？
同時，要求學生課后上網查詢如吳文俊院士利用機器證明幾何問題的方法，并完成教材中例1的證明.
3．2對比研究
教師甲對教材進行了整合，從“平行四邊形的對角線互相平分”為“抓手”，適度引申，其目的是想讓學生掌握向量法“”證明三點共線.但由于例1處理不到位，導致例2的教學啟而不發，無奈倉促收兵.
教師乙沒作適當輔墊，學生對怎樣通過向量共線，結合加、減運算將向量用基向量表示出來，怎樣利用平面向量基本定理或向量相等，這些難點突破不了，教學中，教師只能生拉硬拽，收效甚微.
教師丙更換一道更容易，甚至可以建系，通過向量坐標運算，得到兩線垂直的幾何關系，這也與教材例2中線段長度關系迥然不同.隨后要求學生通過網上資源進一步學習，這也是教師由課內延伸到課外的先進教學理念.
教師甲、乙的異曲同工之處是注重引申探究，偏離了本課的主題：“平面幾何中的向量方法”，使得引申只是一個花架子.教師丙試圖通過正方體中建系來處理平面幾何中垂直關系，倒不如利用斜率關系來處理，沒有體現向量方法的優勢.
3．3課標解讀
教材中采用邊注形式提示可結合多媒體，再現知識形成過程.
教材中例2應解讀為： ⑴ 有些平面幾何問題不妨先實驗嘗試、猜想結論；
⑵ 利用向量法解決平面幾何問題的“三步曲”的操作.
3．4教改設計
筆者的教學設計是：
多媒體演示，順著例1，提問：
例2 ⑴若為的中點，與交于，如圖3，三點共線有哪幾組？能用向量表示出來嗎？⑵能將⑴中有關向量用基向量表示嗎？
⑶能否確定⑵中的值？
⑷你能解釋⑶中的幾何意義嗎？
同時，借助多媒體，測量的長度，直觀驗證結論.
這時，有一位學生站起來說：∽，相似比為1：2不就很快得到了嗎？何必那么麻煩.
教師：太棒了！這說明有些題既可用向量法，也可用平面幾何法，各有優勢.來看下一個問題.
⑸如圖4，為的一個三等分點，在上找一點，使得、、三點共線，請問點的位置？
出乎老師意料，同學們很快說出點是的一個四等分點，其方法是三角形相似.
這下學生就發現，三角形相似難湊效，感受到向量法的優越性.
由于時間關系，將該問題作為課后作業.
教師引導學生逐步總結出向量法解幾何問題的“三步曲”。
評注：本設計結合多媒體，通過問題鏈形式，引導學生在和風細雨中，掌握向量法解決平面幾何問題的流程，培養學生嚴謹的邏輯思維能力和清晰的表述能力，再現數學知識的形成、發生、發展過程.
4 對比后的教學反思
當然，若學生基礎較好，也可讓學生課后思考如下問題：
⑴在正方形中，是中點，，求證：.
⑵以的邊分別向外作等邊三角形、，若，求證：.
總之，教無定法，用教材教，只有我們深入理解課標、教材本質，才能從更高層面上去實施創新教育，我們的新課程改革就定能成功。
──平面幾何中的向量方法同構異構課的對比研究
528403 中山市東區中學 段文山
高中數學中，向量是溝通代數、幾何與三角函數的橋梁，為代數與幾何的切換提供了一條新途徑.本文就我校幾位教師在一次“平面幾何中的向量方法”的同時、同地、同課、異構教學活動作對比研究，同時結合自身對課標、教材的解讀，談談如何吃透課標，把握根本.
1、對課標、教材的解讀
高中數學課標與考試說明（廣東卷）對“向量的應用”的要求是：
經歷用向量法解決簡單的平面幾何、力學及其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何、物理問題等的工具，發展運算和解決實際問題的能力.
教材要求充分利用信息技術，動態觀察、找出規律、提出猜想，精選兩道看似平淡的平面幾何問題，結合“三步曲”，讓學生感悟向量法解決平面問題的魅力.
2 新課導入的對比研究
甲、乙、丙3位教師都是問題引導，啟發式教學，但教學設問、教學流程各具特色.
2．1導課方式
甲：復習矩形的性質平行四邊形例1向量知識探究.
乙：引例：已知，與的夾角為，以，為鄰邊作平行四邊形，求此平行四邊形兩條對角線長；
教師引導學生用向量法解決并探究已知平行四邊形對角線長度的平方和與相鄰兩邊和之間的關系；
提問：這個結論有一般性嗎？完成教材例1.
丙：多媒體演示：展示勾股定理的趙爽弦圖和歐幾里德證法.隨后啟發性提出有更簡單方法嗎？
多數學生能想到（或同學的提示下）用向量法證明；
多媒體演示：直角三角形拼成矩形.發現：矩形的兩條對角線長度的平方和等于兩鄰邊平方和的二倍.
多媒體演示：將矩形“碰歪”，平行四邊形中是否也有這樣的結論？討論教材例1.
2．2對比性研究
教師甲尊重教材，直奔主題：“你能發現平行四邊形對角線長度與兩鄰邊之間的關系嗎？”這種設問跨度較大，問題題境直接突兀，學生對向量工具不夠熟悉，難于實現“向量”到“數量”的轉化，學生仍一片茫然.
教師乙先讓學生完成一道簡單題，涉及向量的模、夾角、平行四邊形，盡管學生計算后得到對角線長度的平方等于兩鄰邊平方和的兩倍，并提出對一般平行四邊形的猜測，但如何證明，學生無法回答，只好教師唱獨角戲完成教學任務.
教師丙能充分利用多媒體，鼓勵學生參與課堂，體現新課要求，學生興趣濃，通過動態演示，節約時間，使學生的發現過程自然流暢，思維展開自如.
2．3課標解讀
教材中例1指出：平行四邊形是表示向量加減法的幾何模型，具體應解讀為：
向量法解決平面幾何問題時，⑴選擇一組不共線向量為基向量；⑵構造平行四邊形（或三角形）用基向量表示任一向量；⑶平面幾何中長度問題可化為向量的模來處理.
因此，要實現教學目標，先要讓學生意識到：平面幾何涉及距離（線段長度）、夾角(如垂直)問題可以化為平面向量的運算，特別是數量積；然后要讓學生學會用向量表示有關的幾何元素；最后進行運算并“翻譯”成幾何關系.
2．4教改設計
筆者的教學設計是：結合多媒體，先讓學生填空：（答案略，下同）
⑴ = .其主要用來處理的幾類問題：
①夾角= ； ②垂直 ；③長度= = .
教師點題：角度、長度等幾何元素可用向量表示出來.
評注：既復習舊知，為知識的同化和順應作鋪墊，又讓學生意識到角度、長度等幾何元素可用向量表示.
⑵向量共線 ；三點共線 .
如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量可以表示為：= .
教師點題：如何證明三點共線？平面內不共線的一對向量都可作為平面向量的一組基底.
評注：如何證明三點共線，如何用三點共線解決有關問題是這節課的重點內容之一.要利用向量解題，先得選擇一組基底，將有關幾何元素表示出來再運算.
接著，自然過渡：
例1 如圖1，不共線的向量，以為鄰邊的平行四邊形中：
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